算法学习二十一、堆和堆排序

如何理解“堆”?

  • 堆是一个完全二叉树;
  • 堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆,我们叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆,我们叫作“小顶堆”。

其中第 1 个和第 2 个是大顶堆,第 3 个是小顶堆,第 4 个不是堆。

如何实现一个堆?

怎么存储堆?

数组存储堆

堆有哪些操作?

往堆中插入一个元素

把新插入的元素放到堆的最后,进行调整,让其重新满足堆的特性,叫作堆化(heapify)。

堆化实际上有两种,从下往上和从上往下。这里我先讲从下往上的堆化方法。

堆化非常简单,就是顺着节点所在的路径,向上或者向下,对比,然后交换。

我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系,我们就互换两个节点。一直重复这个过程,直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。

public class Heap {
  private int[] a; // 数组,从下标1开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数


  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }


  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap()函数作用:交换下标为i和i/2的两个元素
      i = i/2;
    }
  }

删除堆顶元素

当我们删除堆顶元素之后,就需要把第二大的元素放到堆顶,那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点,以此类推,直到叶子节点被删除。

这种方法有点问题,就是最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。

我们把最后一个节点放到堆顶,然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的,互换两个节点,并且重复进行这个过程,直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。

public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}


private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }

如何基于堆实现排序?

建堆

建堆的过程,有两种思路。

第一种是借助我们前面讲的,在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据,但是我们可以假设,起初堆中只包含一个数据,就是下标为 1 的数据。然后,我们调用前面讲的插入操作,将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组,组织成了堆。

第二种实现思路,跟第一种截然相反,也是我这里要详细讲的。第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据,并且每个数据插入堆中时,都是从下往上堆化。而第二种实现思路,是从后往前处理数组,并且每个数据都是从上往下堆化。

private static void buildHeap(int[] a, int n) {
  for (int i = n/2; i >= 1; --i) {
    heapify(a, n, i);
  }
}


private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }

我们对下标从 2n​ 开始到 1 的数据进行堆化,下标是 2n​+1 到 n 的节点是叶子节点,我们不需要堆化。

因为叶子节点不需要堆化,所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中,需要比较和交换的节点个数,跟这个节点的高度 k 成正比。建堆的时间复杂度就是 O(n)。

排序

建堆结束之后,数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶,也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换,那最大元素就放到了下标为 n 的位置。

当堆顶元素移除之后,我们把下标为 n 的元素放到堆顶,然后再通过堆化的方法,将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后,我们再取堆顶的元素,放到下标是 n−1 的位置,一直重复这个过程,直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素,排序工作就完成了。

// n表示数据的个数,数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。

为什么快速排序要比堆排序性能好?

第一点,堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。

第二点,对于同样的数据,在排序过程中,堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。