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算法学习十二、跳表

如何理解跳表

跳表是在有序链表的基础上发展起来的。我们先来看一个有序链表,如下图(最左侧的灰色节点表示一个空的头结点):

在这样一个链表中,如果我们要查找某个数据,那么需要从头开始逐个进行比较,直到找到包含数据的那个节点,或者找到第一个比给定数据大的节点为止(没找到)。也就是说,时间复杂度为 O(n) 。同样,当我们要插入新数据的时候,也要经历同样的查找过程,从而确定插入位置。

假如我们每相邻两个节点增加一个指针,让指针指向下下个节点,如下图:

这样所有新增加的指针连成了一个新的链表,但它包含的节点个数只有原来的一半。现在当我们想查找数据的时候,可以先沿着这个新链表进行查找。当碰到比待查数据大的节点时,再回到原来的链表中进行查找。比如,我们想查找23,查找的路径是沿着下图中标红的指针所指向的方向进行的:

利用同样的方式,我们可以在上层新产生的链表上,继续为每相邻的两个节点增加一个指针,从而产生第三层链表。如下图:

在这个新的三层链表结构上,如果我们还是查找 23,那么沿着最上层链表首先要比较的是 19,发现 23 比 19 大,接下来我们就知道只需要到 19 的后面去继续查找,从而一下子跳过了19 前面的所有节点。可以想象,当链表足够长的时候,这种多层链表的查找方式能让我们跳过很多下层节点,大大加快查找的速度。

跳表正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上,按照上面生成链表的方式,上面每一层链表的节点个数,是下面一层的节点个数的一半,这样查找过程就非常类似于一个二分查找,使得查找的时间复杂度可以降低到 O(logn)。

但是,这种方法在插入数据的时候有很大的问题。新插入一个节点之后,就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的 2:1 的对应关系。如果要维持这种对应关系,就必须把新插入的节点后面的所有节点重新进行调整,这会让时间复杂度重新蜕化成 O(n)。删除数据也有同样的问题。

跳表为了避免这一问题,它不要求上下相邻两层链表之间的节点个数有严格的对应关系,而是为每个节点随机出一个层数 (level) 。比如,一个节点随机出的层数是 3,那么就把它链入到第 1 层到第 3 层这三层链表中。为了表达清楚,下图展示了如何通过一步步的插入操作从而形成一个跳表的过程:

从上面跳表的创建和插入过程可以看出,每一个节点的层数是随机出来的,而且新插入一个节点不会影响其它节点的层数。因此,插入操作只需要修改插入节点前后的指针,而不需要对很多节点都进行调整。这就降低了插入操作的复杂度。

代码实现:

class SNode
{
    //数据域
    public $data;


    //指针域,引用SNode对象
    public $next = [];


    public function __construct($data = null)
    {
        $this->data = $data;
    }


    //获取当前节点索引层数
    public function getMaxLevel()
    {
        return count($this->next) - 1;
    }
}


class SkipList
{
    //索引最大层数
    public $indexLevel;


    //头节点
    protected $head;


    public function __construct(int $indexLevel)
    {
        $this->indexLevel = max($indexLevel, 0);
        $this->head = new SNode();
    }


    public function addData($data)
    {
        $newNode = new SNode($data);
        // getRandomLevel() 获取当前节点存储在几级索引
        for ($level = $this->getRandomLevel(), $node = $this->head; $level >= 0; $level--) {
            // 将 $node 指向第一个大于 $data 的节点
            while (isset($node->next[$level]) && $data < $node->next[$level]->data) {
                $node = $node->next[$level];
            }
            // 将 $node 的 next 指向,赋予 $newNode 的 next 指向,所以值的顺序是从左到右倒序排列的
            if (isset($node->next[$level])) {
                $newNode->next[$level] = $node->next[$level];
            }
            // 将 $newNode 赋予 $node 的 next
            $node->next[$level] = $newNode;
        }
        return $newNode;
    }


    public function deleteData($data)
    {
        $deleted = false;
        // $this->head->getMaxLevel() 获取头节点的索引层数,头节点的索引层数即是跳表的索引层数
        for ($level = $this->head->getMaxLevel(), $node = $this->head; $level >= 0; $level--) {
            while (isset($node->next[$level]) && $data < $node->next[$level]->data) {
                $node = $node->next[$level];
            }
            if (isset($node->next[$level]) && $data == $node->next[$level]->data) {
                $node->next[$level] = isset($node->next[$level]->next[$level]) ?
                    $node->next[$level]->next[$level] : null;
                $deleted = true;
            }
        }
        return $deleted;
    }


    public function findData($data)
    {
        for ($level = $this->head->getMaxLevel(), $node = $this->head; $level >= 0; $level--) {
            while (isset($node->next[$level]) && $data < $node->next[$level]->data) {
                $node = $node->next[$level];
            }
            if (isset($node->next[$level]) && $data == $node->next[$level]->data) {
                return $node->next[$level];
            }
        }
        return false;
    }


    protected function getRandomLevel()
    {
        return mt_rand(0, $this->indexLevel)

跳表查询时间复杂度

按照我们刚才讲的,每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k级索引结点的个数就是 n/(2^k)。假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n/(2^h)=2,从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn),即O(logn)。

跳表的空间复杂度

假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢?

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引,如果我们每三个结点或五个结点,抽一个结点到上级索引,是不是就不用那么多索引结点了呢?

高效的动态插入与删除

插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

在单链表中,一旦定位好要插入的位置,插入结点的时间复杂度是很低的,就是 O(1)。但是,这里为了保证原始链表中数据的有序性,我们需要先找到要插入的位置,这个查找操作就会比较耗时。对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(logn)。